...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,

发布网友发布时间：2024-10-24 02:53

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热心网友时间：6分钟前

α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性无关。

A＝＜α1，α2，α3，。。。α(n－1）＞为n-1维子空间。设B是A在n维空间的正交

补，则B是1维子空间。β1、β2都在B.

∴β1，β2线性相关（个数＞空间维数必相关）。

再假如α1，α2，α3，。。。α(n－1），β1线性相关。从“无关相关表示定理”

β1可以用α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性表示。β1∈A.而β1∈B.

β1∈A∩B＝＜0＞,β1＝0,矛盾。

∴α1，α2，α3，。。。α(n－1），β1线性无关。

热心网友时间：8分钟前

假设β1可由α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性表出，
记 β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n－1）
由于α1，α2，α3，。。。α(n－1）与β1 正交
即αi点乘β1=0（i=1，……，n-1）
可推出ki=0（i=1，……，n-1）即β1=0与题设相矛盾，
则有α1，α2，α3，。。。α(n－1），β1线性无关
同理α1，α2，α3，。。。α(n－1），β2线性无关
由于n+1个n维向量必线性相关，以及上述两个结论，可得
β1，β2线性相关

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