8 数学广角——数与形
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。
本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2解决求和的问题，教科书利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。
小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生发展逻辑思维能力的要求，教科书在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。
1.形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决。教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合：既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律；也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形，通过学生的讨论，得出小正方形数为12，22，32，…，还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论；也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，从而对规律形成更为直观的认识。
2.充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，从而进一步感受到“化数为形”直观、形象、简捷的特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。
第1课时 数与形（1）
▶教学内容
教科书P107例1及P108“做一做”第1、2题，完成教科书P109~110“练习二十二”中第1～3题。
▶教学目标
1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合的数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
2.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合的思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方法。
▶教学重点
体会数形结合的思想。
▶教学难点
用自己的语言描述发现的规律。
▶教学准备
课件、不同颜色的小正方形。
▶教学过程
一、游戏激趣，导入课题
师：同学们，我们学习了几年的计算，都会吧？（会）跟老师比一比行吗?（行） 课件依次出示习题。
师生比赛，看谁算得快。（老师当然快一些）
师：你们想不想也像老师一样算得快呢？（想）老师给你们一点点提示，我是借助图形发现计算方法的。今天这节课我们就来研究数与形。［板书课题：数与形（1）］
【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。
二、形中找数，以形解数
师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如1+3，我就先拿1个小正方形，再拿3个小正方形贴在黑板上，我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成1个大正方形，那就把它们拼成一个大的正方形
。
◎教学笔记
【教学提示】
比赛结束后，适当引导学生观察一下算式的特点，再说自己的计算方法。
师：接着，我观察图形和算式之间的关系，发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？
1.动画引出形与数的联系。
师：请大家认真观察屏幕上的内容。（课件动态呈现教科书P107例1）
师：通过刚才的观察，你能从图中发现哪些数的信息?请先与同桌交流，再向大家说说你的想法。
学生活动，教师巡视。全班交流。
【学情预设】学生可能会根据图形的呈现顺序(每层个数)回答，如1(1层)、1+3(2层)、1+3+5(3层)……；也可能根据图形的结果(正方形个数)回答，如1、4、9……
学生边回答，课件边呈现算式，教师边完成下面板书。 1＝1×1＝12
1+3=2×2=22 1+3+5=3×3=3
2 2.探究发现形与数的关系。
师：请大家结合图形与算式，看看能发现什么规律?拼这样的图形，一共需要多少个小正方形?
课件集中呈现。
学生活动，教师巡视。全班交流。
【学情预设】预设1：结合算式看图形，发现图形中所包含的规律是各层小正方形的个数之和等于层数的平方。
预设2：发现算式左边是每层图形的个数之和，右边也是。并从中发现，在计算连续奇数的和时，用“个数”的平方来计算比较快。
预设3：发现图形和算式之间有一定的联系。也就是说，图形中的规律可以用算式表示出来，这样不需要再继续拼下去，就可以从算式中知道所拼图形中一共有多少个小正方形。
◎教学笔记
【教学提示】
避免学生将数与形分离开观察，在此要求学生用数表示出图的规律。
预设4：发现拼出的图形有多少层，层数的平方就是图中所有小正方形的个数。如拼出的图形有2层，一共有22个小正方形；拼出的图形有3层，一共有32个小正方形；拼出的图形有几层，就有几的平方个小正方形。
3.初步体会形与数的关系。
师：同学们真聪明，发现了形与数之间的联系。现在如果让你拼出4层，一共需要多少个小正方形?如果拼出5层呢?6层呢?
课件动态呈现拼成4、5、6层的大正方形，学生分别说出算式和得数。 师：如果拼成10层呢？100层呢？请大家先想一想，再交流一下。
【学情预设】预设1：拼10层，共需102＝100(个)小正方形;拼100层，共需1002
＝10000(个)小正方形。
预设2：可以把拼图问题转化为计算连续奇数的和，因为1+3＝22
＝4，1+3+5＝32＝9，所以1+3+5+7＝42
＝16，1+3+5+…+19＝102
＝100，1+3+5+…+199=1002=10000。
预设3：发现当层数较少时，用图形比较直观；当层数较多时，画图就比较麻烦，画100层就很困难。如果层数比较多，用算式虽然不像图形那样直观，但如果分析出其中隐藏的规律后，再多的层数都可以用算式非常方便地计算出结果。
教师在全班交流的同时，引导学生归纳出数与形之间的联系，最后完成小结。 师：通过探索，发现形与数之间存在着紧密的联系；并且还发现，图形虽然直观，但随着数量的不断增加，会变得不易操作，如果改用寻找数中隐藏的规律，就可以进行更加详细的讨论。
师：通过计算，你们发现算式有什么规律没有?
【学情预设】学生会发现，从1开始，n个连续奇数的和等于n2
。
【设计意图】本环节设计有三层，每层都通过数形结合来引导学生不断深入思考。首先，用动画以“半包围”的方式引出图形，让学生清楚地看到每层的小正方形数量不断增加，放手让学生从中发现形与数的联系。接着，以共需多少个小正方形为问题，引发思考，又一次放手让学生探究发现形与数之间的关系。最后是渗透数学思想方法的关键，也是教学的目的所在。以不断增加层数提出“高难度”问题，迫使学生从画图转向算式，再加上教师的点拨，使学生初步体会形的直观与数的细微。
4.运用规律。 （1）课件出示习题。
教师请学生独立完成，然后全班核对答案并适时板书。
◎教学笔记
【教学提示】
要关注学生多种推理方法，突出学生的思维过程，不能让学生套用规律。
（2）利用规律，算一算。
课件展示教科书P108“做一做”第1题。 师：根据例1的结论算一算。
全班交流，请学生说明计算结果和原因。 5.小结。
师：同学们都很细心，不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题了吧。
师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。
【设计意图】充分让学生观察分析，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。
三、巩固练习,综合应用
1.课件展示教科书P108“做一做”第2题。
师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？ 四人小组交流，全班汇报。课件出示答案。
师：刚才有一个同学说红色的小正方形顺次增加1个，蓝色的小正方形顺次增加2个，这是为什么呢？我们一起来看一看。第一个图形，若要增加1个红色小正方形，其上方、下方就要各增加1个蓝色小正方形。依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个红色小正方形，则蓝色小正方形就要增加几个？（2个）
师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？在草稿本上写一写。
教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。
师：观察发现，图形中左右两侧的蓝色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，红色小正方形的个数乘2就是蓝色小正方形的个数。即使在红色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形中确实蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。
2.课件展示教科书P109“练习二十二”第1题。 先放手让学生找出规律，再交流汇报。
【学情预设】由于每个图形最外圈小正方形的个数都是8的相应倍数，因此第n个图形最外圈小正方形的个数是8n。类似的算式(2n+1)2
-(2n-1)2
可能学生找不到，教师可以引导学生观察给出的算式中两个数间的关系，如3和1、5和3、7和5……这样从相邻奇数入手思考，会很快发现其中的规律。
3.课件展示教科书P109“练习二十二”第2题。
师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？
◎教学笔记
【教学提示】
部分学生能灵活运用规律计算，大部分学生还是需要引导。所以让会做的学生说思路、方法，分享解答过程。
【教学提示】
学生可以从不同角度观察、分析，发现规律，不能仅仅关注结果。
(1)小组交流后全班汇报。
【学情预设】预设1：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。
预设2：是第几个图形，其中就有几行小圆。
师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？
(2)请学生独立完成在练习纸上。 (3)学生汇报，说说是怎么得到结果的。
师：第10个图形中的最后一行是第几行？一共含有几个小圆？
【学情预设】第10个图形中的最后一行是第10行，一共含有55个小圆。 师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。
(4)展示学生作品，请学生介绍方法。
【设计意图】通过练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。
4.课件展示教科书P110“练习二十二”第3题。 （1）学生独立在教科书上完成。 （2）展示交流，集体订正。
【学情预设】就具体的图形来说，学生能较轻松地填出数。在发现规律时，学生可能会有困难，特别是发现的规律难以用语言表达清楚。教师要引导学生用字母表示。
四、回顾反思
师：今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你们有什么收获。
【学情预设】学生可能会说，利用图形发现规律，利用图形进行计算比较简便等。 师小结：在解决问题时，可以利用形解决数的问题，也可以利用数解决形的问题，根据实际灵活选用。
▶板书设计
◎教学笔记
数与形（1） 1＝1×1＝1 1+3=2×2=2 1+3+5=3×3=3 1+3+5+7=4 1+3+5+7+9+11+13=7
▶教学反思
2
2222
让学生自己发现规律时，他们首先说的都是数的规律，比如每个加法算式依次多加了一个数，分别是3、5、7……它们的和都是几的平方数，而没有把数和图形结合起来，于是教师多次引导学生从图形上去找找看还有什么规律。学生通过观察图形，发现算式左边的加数正好分别与正方形图中以颜色区分的小正方形数相对应。把这些加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形数，即每边小正方形数的平方。
▶作业设计
◎教学笔记
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P64第三、四题。 三、观察图形，填写下表。
四、先数一数，再填一填，用你发现的规律解决问题。
1.摆15个三角形，需要多少根小棒？ 2.有89根小棒，能摆出多少个三角形？
3.摆成的三角形个数与所用的小棒根数之间有什么关系？ 参考答案 三、43 88
四、7 9 1.31根 2.44个 3.摆成的三角形个数×2+1=所用的小棒根数
9 通 分
项目
内 容
1.找出下面每组数的最小公倍数。
16和20 25和35 33和11 9和10
2.豆类食品含有较高的蛋白质,经常食用有益于人体健康。黄豆的蛋白质含量大约是,蚕豆的蛋白质含量大约是。黄豆和蚕豆哪个的蛋白质含量比较高?
分析:我们可以把这两个分数化成( )的分数。
== =
=
所以○,( )的蛋白质含量较高。
3.通过预习,我知道了把异分母分数分别化成和原来分数(( )分数,叫做通分。
4.我还有( )不明白。
5.先把下面的每组中的两个分数通分,再比较大小。 和 和
温馨 提知识准备:最小公倍数的相关知识。
示
)的
参 考 答 案 1.80 175 33 90
2.分母相同
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3.相等 同分母 4.略 5.=
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